179 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
178
Μοναδικότητα
Επιπλέον, η συνάρτηση
g
είναι παραγωγίσιμη στο
[ ]
=
g
D 0,1
ως διαφορά
παραγωγίσιμων συναρτήσεων με
( ) ( )
¢
¢= >
g x f x 0
για κάθε
( )
Î
x 0,1
, άρα
η
g
είναι γνησίως αύξουσα στο
g
D
.
Επομένως,
0
x
μοναδική λύση της εξίσωσης
( )
=
0
g x 0
, συνεπώς και της
( )
=
0
f x 3
.
β.
Όπως αναφέραμε στο
α
.
ερώτημα ,η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα
στο
[ ]
0,1
, επομένως ισχύουν :
( )
( )
f
1
1
0 1 f 0 f
f 1
5
5
æ ö
< < Û < < ç ÷
è ø
[
(1)
( )
( )
f
2
2
0 1 f 0 f
f 1
5
5
æ ö
< < Û < < ç ÷
è ø
[
(2)
( )
( )
f
4
4
0 1 f 0 f
f 1
5
5
æ ö
< < Û < < ç ÷
è ø
[
(3)
( )
( )
f
3
3
0 1 f 0 f
f 1
5
5
æ ö
< < Û < < ç ÷
è ø
[
(4)
Προσθέτοντας κατά μέλη τις
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4)
έχουμε:
( )
( )
1 2 3 4
4f 0 f
f
f
f
4f 1
5 5 5 5
æ ö æ ö æ ö æ ö
< + + + < Û
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
( )
( )
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Û <
<
1 2 3 4
f
f
f
f
5 5 5 5
f 0
f 1
4
.
Όμως ,
·
f
είναι συνεχής στο
[ ]
0,1
·
( ) ( )
f 0 f 1
¹
από υπόθεση
·
ο αριθμός
( ) ( )
(
)
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
=
Î
1 2 3 4
f
f
f
f
5 5 5 5
η
f 0 ,f 1
4
Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών , υπάρχει