174 / 368
173
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
ii.
Οι συναρτήσεις
f
και
1
f
-
είναι συνεχείς άρα και η διαφορά τους είναι συ-
νεχής.
( )
( )
(
)
(
)
(
)
3
2
1
f x f x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 1
-
- = + - - + - = - - -
Είναι
( )
( )
(
)
3
1
f x f x 0 x 2 x 2 1 0
-
- = Û - - - =
3
x 2 0
ή x 2 1 0 x 2 ή x 3
Û - =
- - = Û = =
.
Δηλαδή
,
τα κοινά τους σημεία είναι τα
( )
Α 2,2
και
( )
Β 3,3
.
Επειδή
,
3
3
2 x 3 0 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 0
£ £ Û £ - £ Û - £ Û - £ Û - - £
Επίσης, είναι
x 2 0
- ³
για
[ ]
x 2,3
Î
.
Άρα
,
( )
( )
1
f x f x 0
-
- £
για
[ ]
x 2,3
Î
.
Οπότε
,
το εμβαδόν του ζητούμενου χωρίου είναι
:
Δίνεται η συνάρτηση
( )
f x
=
2
ημ3x
, x 0
x
x
αx βσυνx , x 0
ì
<
ï
í
ï + +
³
î
α.
Να αποδειχθεί ότι
( )
x 0
lim f x 3
-
®
=
.
(Μονάδες
8)
β.
Αν
π
f
π
2
æ ö ¢
= ç ÷
è ø
και η συνάρτηση
f
είναι συνεχής στο σημείο
0
x 0
=
να αποδει-
χθεί ότι
α β 3
= =
.
(
)
(
)
-
-
= -
=
-
= - - -
=
ò
ò
ò
3
3
3
1
1
2
2
2
2
E f(x) f (x)dx f (x) f(x) dx
x 2 (x 2) dx
(
)
(
)
é
ù é
ù
-
-
æ
ö æ
ö
ê
ú
=
-
= - - - =
ê
ú ç
÷ ç
÷
ê
ú
è
ø è
ø
ê
ú
ë
û
ê
ú
ë
û
3
3
3
3
2
2
2
2 x 2
x 2
2
1
1
0
0
τ.μ
3
3
3
3
3
ΘΕΜΑ Β
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007