172 / 368
171
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Απάντηση:
α.
Παρατηρούμε ότι
( )
0
0 0 0
f 0 2 m 4 5 1 1 1 1 0
= + - - = + - - =
Ακόμη
f
παραγωγίσιμη στο
ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με
( )
x
x
x
x
f x 2 ln2 m lnm 4 ln4 5 ln5
¢
= +
- -
Έτσι
,
λοιπόν
,
και επειδή
( )
f x 0
³
για κάθε
x
Î
έχουμε ότι
( ) ( )
f x f 0
³
x
Î
,
δηλαδή η
f
έχει ολικό ελάχιστο στο
0
x 0
=
.
·
Η
f
παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο
0
x 0
=
,
·
Το
0
x 0
=
εσωτερικό σημείο του
·
Η
f
παραγωγίσιμη στο
0
x 0
=
Σύμφωνα με το Θεώρημα
Fermat
έχουμε:
( )
0
0
0
0
f 0 0 2 ln2 m lnm 4 ln4 5 ln5 0 ln2 lnm ln4 ln5 0
¢
= Û +
- - = Û + - - =
(
)
ln2m ln4 ln5 0 ln2m ln20 0
Û - + = Û - =
2m m m
ln 0 ln ln1
1 m 10
20
10
10
Û = Û = Û = Û =
β.
Αφού
( )
f x 0
³
για κάθε
x
Î
,
το ζητούμενο εμβαδόν θα είναι:
( )
( )
(
)
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
0
0
0
2 10 4 5
E
Ω f x dx 2 10 4 5 dx
ln2 ln10 ln4 ln5
é
ù
=
= + - - = + - -
ê
ú
ë
û
ò
ò
0
0
0
0
2 10 4 5 2 10 4 5
ln2 ln10 ln4 ln5 ln2 ln10 ln4 ln5
æ
ö
= + - - - + - -
ç
÷
è
ø
2 10 4 5 1 1 1 1
ln2 ln10 ln4 ln5 ln2 ln10 ln4 ln5
æ
ö
= + - - - + - -
ç
÷
è
ø
2 10 4 5 1 1 1 1
ln2 ln10 ln4 ln5 ln2 ln10 ln4 ln5
= + - - - - + +
1 9 3 4
ln2 ln10 ln4 ln5
= + - -
τετραγωνικές μονάδες
.
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )
(
)
2
f x 2 x 2
= + -
με
x 2
³
.
α.
Να αποδείξετε ότι η
είναι 1
-1.
(Μονάδες 6)
f
ΘΕΜΑ Β
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2006