167 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
166
·
(
)
x 3
x 3
lim 1 e 1 1 0
+
-
®
- = - =
και
(
)
x 3
lim x 3 0
+
®
- =
άρα έχουμε απροσδιό-
ριστη μορφή
0
0
.
·
Οι συναρτήσεις
( )
( )
x 3
1
2
g x 1 e , g x x 3
-
= -
= -
είναι παραγωγίσιμες
στο
ως εκθετική και πολυωνυμική αντίστοιχα, με
( )
( )
x 3
1
2
g x e , g x 1
-
¢
¢
= -
=
.Επομένως θα είναι και παραγωγίσιμες
στο
(
)
3,3
δ ,δ 0
+ >
αρκούντος μικρό.
·
Επιπλέον
(
)
(
)
x 3
x 3
x 3
x 3
1 e
e
lim
lim
1
1
x 3
+
+
-
-
®
®
¢
-
æ
ö -
=
= -
ç
÷
¢
è
ø
-
Οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος του
Del
’
Hospital
έτσι:
(
)
(
)
x 3
x 3
x 3
x 3
1 e
1 e
lim
lim
1
x 3
x 3
+
+
-
-
®
®
¢
-
-
=
= -
-
¢ -
Η παραπάνω διαδικασία είναι έξω από τη λογική του σχολικού βιβλίου,
οπότε στη συνέχεια η χρήση του θεωρήματος θα γίνεται χωρίς αναφορά
των προϋποθέσεων.
β.
Για
>
x 3
,
αφού
f
παραγωγίσιμη ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων
,
έχουμε :
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
x-3
x 3
x-3
x 3
x-3
2
2
1 e x 3 1 e x 3 e x 3 1 e
1 e
f x
x 3
x 3
x 3
-
-
¢
¢
¢
-
- - -
- - - - -
æ
ö -
¢
=
=
=
ç
÷ -
-
-
è
ø
(
)
(
)
(
)
(
)
x 3
x-3
x 3
x 3
x 3
x 3
2
2
2
4 x e 1
xe 3e 1 e
xe 4e 1
x 3
x 3
x 3
-
-
-
-
-
-
-
- + - +
- + -
=
=
=
-
-
-
Έτσι
( )
(
)
2
1
f 4
1
4 3
-
¢
=
= -
-
και
( )
4 3
1 e 1 e
f 4
1 e
4 3 1
-
-
-
=
= = -
-
Η εξίσωση της εφαπτομένης στο
( )
(
)
A 4,f 4
είναι:
( ) ( )(
)
¢
- =
- Û
y f 4 f 4 x 4
(
)
(
)
y 1 e -1 x 4 y x e 5
- - = × - Û = - - +