173 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
172
β.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση
1
f
-
της
f
και να βρείτε
τον τύπο της.
(
Μονάδες 8
)
γ. i.
Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσε-
ων
f
και
1
f
-
με την ευθεία
y x
=
.
(
Μονάδες 4
)
ii.
Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από τις γραφικές
παραστάσεις των συναρτήσεων
f
και
1
f
-
.
(
Μονάδες 7
)
Απάντηση:
α.
Έχουμε
( )
(
)
2
f x 2 x 2
= + -
με
x 2
³
.
Η
f
είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο
[
)
2,
+¥
ως πολυωνυμική με
( ) (
)
f x 2 x 2 0
¢
= - >
για κάθε
(
)
x 2,
Î +¥
.
Άρα
,
f
γνησίως αύξουσα στο
[
)
2,
+¥
και επομένως
,
είναι και 1
-1.
β.
Η συνάρτηση
f
είναι 1
-
1, επομένως υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της
f
.
Είναι
( )
(
)
(
)
2
2
y f x y 2 x 2 y 2 x 2
= Û = + - Û - = -
(
)
y 2 0
2
y 2 x 2 x 2 y 2 x 2 y 2
- ³
Û - = - Û - = - Û = + -
με
y 2 0 y 2
- ³ Û ³
Άρα ,
( )
1
f y 2 y 2
-
= + -
με
y 2
³
δηλαδή
( )
1
f x 2 x 2
-
= + -
με
x 2
³
.
γ.
i.
Είναι
( )
2
2
f x x 2 x 4x 4 x x 5x 6 0
= Û + - + = Û - + =
(1)
Οι λύσεις της (1) είναι
x 2
=
και
x 3
=
.
Άρα τα κοινά σημεία της
f
C
με την
y x
=
είναι τα
( )
Α 2,2
και
( )
Β 3,3
.
Επιπλεόν, οι
f
C
και
1
f
C
-
είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία
y x
=
άρα
τα κοινά σημεία της
1
f
C
-
με την
y x
=
είναι τα
( )
Α 2,2
και
( )
Β 3,3
.