178 / 368
177
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ Θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων 2000
-2015
Η συνάρτηση
f
είναι παραγωγίσιμη στο κλειστό διάστημα
[ ]
0,1
και ισχύει
( )
¢
>
f x 0
για κάθε
( )
Î
x 0,1
.
Αν
( )
=
f 0 2
και
( )
=
f 1 4
, να δείξετε ότι:
α.
Η ευθεία
=
y 3
τέμνει τη γραφική παράσταση της
f
σ’ ένα ακριβώς σημείο
με τετμημένη
( )
Î
0
x 0,1
.
(Μονάδες 7)
β.
Υπάρχει
( )
Î
1
x 0,1
τέτοιο
,
ώστε:
( )
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
=
1
1 2 3 4
f
f
f
f
5 5 5 5
f x
4
(Μονάδες 12)
γ.
Υπάρχει
( )
Î
2
x 0,1
, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f
στο σημείο
( )
(
)
2
2
M x ,f x
να είναι παράλληλη στην ευθεία
= +
y 2x 2000
.
(Μονάδες 6)
Απάντηση:
α.
Για να δείξουμε ότι η γραφική παράσταση της
f
τέμνει την ευθεία
=
y 3
σ’
ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη
( )
Î
0
x 0,1
αρκεί να δείξουμε ότι η εξί-
σωση
( )
=
f x 3
έχει μοναδική λύση στο διάστημα αυτό.
Έστω η συνάρτηση
( ) ( )
= -
g x f x 3
με
[ ]
=
g
D 0,1
·
Η
g
είναι συνεχής στο
[ ]
0,1
ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων (
f
συνεχής αφού είναι παραγωγίσιμη και 3 συνεχής ως σταθερή
συνάρτηση).
·
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
= - = - = - < üï
Þ ×
<
ý
= - = - = > ïþ
g 0 f 0 3 2 3 1 0
g 0 g 1 0
g 1 f 1 3 4 3 1 0
Έτσι,
σύμφωνα με το θεώρημα
Bolzano,
υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
0
x 0,1
τέτοιο
,
ώστε
( )
= Û
0
g x 0
( )
( )
- = Û =
0
0
f x 3 0 f x 3
.
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2000