180 / 368
179
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
τουλάχιστον ένα
( )
Î
1
x 0,1
τέτοιο, ώστε:
( )
1
f x
η
=
( )
æ ö æ ö æ ö æ ö
+ + +
ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
Û =
1
1 2 3 4
f
f
f
f
5 5 5 5
f x
4
γ.
Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
2
x 0,1
τέτοιο, ώστε
( )
2
f x 2
¢
=
αφού
( )
¢= =
ε
2
λ f x 2
.
·
Η
f
είναι συνεχής στο
[ ]
0,1
·
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
( )
0,1
Έτσι ,σύμφωνα με το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού λογισμού,
υπάρχει τουλάχιστον ένα
( )
Î
2
x 0,1
τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )
-
-
¢
=
= =
-
2
f 1 f 0 4 2
f x
2
1 0
1
Για μια συνάρτηση
f
,
που είναι παραγωγίσιμη στο σύνολο των πραγματικών
αριθμών , ισχύει ότι :
( )
( )
( )
+
+ = - + -
3
2
3
2
f x
βf x γf x x 2x 6x 1
για κάθε
!
x
Î
όπου β, γ πραγματικοί αριθμοί με
<
2
β 3γ
.
α.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
δεν έχει ακρότατα.
(
Μονάδες 10
)
β.
Να δείξετε ότι η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα.
(Μονάδες
8)
γ.
Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδική ρίζα της εξίσωσης
( )
=
f x 0
στο ανοικτό
διάστημα
( )
0,1
. (
Μονάδες 7
)
Απάντηση:
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2001