185 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
184
και της
-
1
f
.
(Μονάδες 5)
δ.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της
-
1
f
, τον άξονα των
x
και την ευθεία με εξίσωση
=
x 3
.
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α.
Η συνάρτηση
( )
= + +
5 3
f x x x x
είναι ορισμένη στο
ως πολυωνυμική και
παραγωγίσιμη 2 φορές σε όλο το
με:
( )
(
)
¢
¢
= + + = + +
5 3
4
2
f x x x x 5x 3x 1
και
( )
(
)
¢
¢¢
= + + = +
4
2
3
f x 5x 3x 1 20x 6x
·
Επειδή είναι
( )
¢
= + + >
4
2
f x 5x 3x 1 0
για κάθε
x
Î
, προκύπτει ότι η
f
είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
.
·
( )
(
)
¢¢
= Û + = Û + = Û =
3
2
f x 0 20x 6x 0 2x 10x 3 0 x 0
·
Αφού
2
10x 3 0
+ >
για κάθε
x
Î
, το πρόσημο της
f
΄΄ είναι :
( )
(
)
¢¢
> Û + > Û > Û >
2
f x 0 2x 10x 3 0 2x 0 x 0
( )
(
)
¢¢
< Û + < Û < Û <
2
f x 0 2x 10x 3 0 2x 0 x 0
Συνοπτικά το πρόσημο της
¢¢
f
και
η
κυρτότητα της
f
φαίνονται στο
διπλανό πίνακα:
Επομένως,
·
κοίλη στο διάστημα
-¥
( ,0]
·
κυρτή στο διάστημα
+¥
[0, )
Επειδή η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο , θα είναι 1
-
1 σε αυ-
τό και συνεπώς η
f
είναι αντιστρέψιμη στο
.
β.
Η συνάρτηση
f
είναι γνησίως αύξουσα στο
.
Για να δείξουμε ότι
( )
(
)
³ +
x
f e f 1 x
για κάθε
x
Î
, αρκεί να δείξουμε ότι:
x
-¥
0
+¥
( )
f x
¢¢
-
+
f
l
o