190 / 368
189
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
(1)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
f x
f x
f x
1
1
x 1 1
f x
f x
f x
x 1 x 1
¢
¢
¢
-
Û ×
+ = - Û =
Û = -
+
+
(2)
Και για το ζητούμενο ολοκλήρωμα
1
2
0
1
I
dx
x 1
=
+
ò
έχουμε
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
1
1
1
2
1
2
0
0
0
0
f x
1
I
dx
dx
ln f x dx ln f x
ln f 1 ln f 0
f x
x 1
¢
¢
é
ù
=
= -
= -
= -
= -
-
ë
û
+
ò
ò
ò
Όμως
,
( )
f 1 2 1
= -
και
( )
f 0 1
=
.
Άρα
,
I
ln 2 1 ln 1
= - - -
(
)
(
) (
)
1
1
ln 2 1 ln 2 1 ln
2 1
-
= - - = - =
-
(
)(
)
(
)
2
2
2 1
2 1
2 1
ln
ln
ln
ln 2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
+
+
+
=
=
=
= +
-
-
+
-
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
( )
x
g x e f x
=
, όπου
f
συνάρτηση παραγωγίσιμη στο
και
( )
= =
æ ö
ç ÷
è ø
3
0
0
2
f
f
.
α.
Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο
Î
æ ö
ç ÷
è ø
3
ξ 0,
2
τέτοιο ώστε
( )
( )
¢
= -
f
ξ f ξ
(
Μονάδες 8
)
β.
Εάν
( )
2
f x 2x 3x
= -
, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
0
α
I
α g(x)dx, α
=
Î
ò
.
(
Μονάδες 8
)
γ.
Να βρείτε το όριο
( )
®-¥
α
lim
Ι α
.
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
α.
Η
g
είναι παραγωγίσιμη στο
ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων
με
( )
( )
( )
¢
¢
=
+
x
x
g x e f x e f x
ΘΕΜΑ
Γ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2004