Μαθηματικά Γ' Λυκείου

175 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
174
(Μονάδες 9)
γ. Αν α β 3= = ,να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα ( ) π
0
f x dx ò .
(Μονάδες 8)
Απάντηση:
α. Για x κοντά στο 0, με x 0<
θέτουμε
3
u 3x x
u
= Û = και
x 0
lim 3x 0
-
®
= ,άρα u 0- ® οπότε :
x 0 u 0 u 0 u 0
ημ3x ημu 3ημu ημu
lim lim lim 3 lim 3
u
x u u
3
- - - -
® ® ® ®
= = = = .
β. Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 0 x 0= , έχουμε ότι
( ) ( ) ( )
x 0 x 0
lim f x lim f x f 0
- +
® ®
= = .
Έτσι, λοιπόν, έχουμε ( )
f 0 β = , ( )
x 0
lim f x β
+
®
= και ( )
x 0
lim f x 3
-
®
= , άρα β 3= .
Ακόμη, για x 0> η f είναι παραγωγίσιμη με ( )
f x 2x α 3ημx ¢ = + - .
Οπότε
π π π
f π 2 α 3ημ π π α 3 π α 3 0 α 3
2 2 2
æ ö ¢ = Û + - = Û + - = Û - = Û =
ç ÷
è ø
γ. Η f είναι συνεχής στο [ ]0,π ,ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων ( 2
x 3x+
πολυωνυμική και 3συνx τριγωνομετρική).
Έτσι:
( ) ( )
π π
2
0 0
I f x dx x 3x 3συνx dx = = + + ò ò
π
3 2
0
x 3x
3ημx
3 2
é ù
= + + =
ê ú
ë û
3 2 3 2
π 3π π 3π
3ημπ
3 2 3 2
+ + = + .