166 / 368
165
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Β Θέματα Πανελλαδικών Εξετάσεων 2000
-2015
Έστω
f
μια πραγματική συνάρτηση με τύπο:
( )
ì
£
ï
= í
>
ï
- î
2
x-3
αx , x 3
f x
1-e
, x 3
x 3
α.
Αν η
f
είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι
1
α
9
= -
. (
Μονάδες 9
)
β.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης
f
C
της
συνάρτησης
f
στο σημείο
( )
(
)
A 4,f 4
. (
Μονάδες 7
)
γ.
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης
f
, τον άξονα
x
΄
x
και τις ευθείες
x 1
=
και
x 2
=
.
(
Μονάδες 9
)
Απάντηση:
α.
Αφού
f
είναι συνεχής
στο πεδίο ορισμού της, θα είναι και στο 3, επομένως
θα ισχύει
:
( )
( ) ( )
x 3
x 3
lim f x lim f x f 3 9
α
-
+
®
®
=
= =
Όμως:
( )
( )
2
x 3
x 3
lim f x lim
αx 9α
-
-
®
®
=
=
και
(
)
(
)
0
x 3
x 3
x 3
0
D.L.H.
x 3
x 3
x 3
x 3
1 e
1 e
e
lim f(x) lim
lim
lim
1
x 3
1
x 3
+
+
+
+
æ ö
-
ç ÷
-
-
è ø
®
®
®
®
¢
-
æ
ö
-
-
=
=
=
= -
ç
÷
-
¢
è
ø
-
Επομένως
:
1
9
α 1 α
9
= - Û = -
.
Σχόλιο:
Για να εφαρμόσουμε το θεώρημα του
Del
’
Hospital
θα πρέπει να
κάνουμε έλεγχο των προϋποθέσεων του.
Έτσι για το παραπάνω όριο, έχουμε :
ΘΕΜΑ Β
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2001