Μαθηματικά Γ' Λυκείου

161 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
160
( ) ( )
1
h 2 2f α 0 - = > αφού ( ) ( )
1 1
f f α D f α 0 - - Î Þ >
Οπότε ( ) ( )
h 0 h 1 0< και ( ) ( )
h 1 h 2 0< .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano οπότε υπάρχει η εξί-
σωση
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
h x 0 x x 2 f α x x 1 f α x 1 x 2 ημ πα 0- = Û - + - + - - =
έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο ( )0,1 και μια τουλάχιστον ρίζα στο ( )1,2 .
Όμως η ( )
h x είναι πολυωνυμική συνάρτηση 2ου βαθμού άρα έχει το πολύ
δύο ρίζες στο .
Τελικά λοιπόν η εξίσωση
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
x x 2 f α x x 1 f α x 1 x 2 ημ πα 0- - + - + - - =
έχει ακριβώς δύο ρίζες, μια στο διάστημα ( )0,1 και μια στο διάστημα ( )1,2 .
Δ5. Ισχύει ότι ( ) ( )
F x f x¢ = για ( )
x 0,Î +¥ .
Άρα ( ) ( )
F x f x 0¢¢ ¢= < για ( )
x 0,Î +¥ άρα η F¢ είναι γνησίως φθίνουσα στο
( )
0, +¥ .
( ) ( ) ( ) e 1
e 1 2
ln2 F 1 ln ln2 F 1 ln2 ln e 1
e 1
+
+ æ ö
< < Û < < - +
ç ÷+è
ø
( ) ( ) ( )
ln2 F 1 e 1 ln2 ln e 1 Û < < + - +
● Η F είναι συνεχής στο [ ]1,e
● H F είναι παραγωγίσιμη στο ( )1,e
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής οπότε υπάρχει του-
λάχιστον ένα ( )
ξ 1,eÎ τέτοιο ώστε: