158 / 368
157
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Γ4α
.
( )
x 0
x 0
x 0
x 0
f x
2
ημx x
ημx x
ημx
lim lim
lim 2
lim 2 1 2 1 1 1
x
x
x x
x
®
®
®
®
-
æ
ö
æ
ö
=
=
- =
- = × - =
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Γ4β
.
( ) ( )
(
)
( )
( )
x 0
x 0
f x
f 2x
lim f x f 2x lnx lim x
2x
lnx
x
2x
®
®
é
ù
æ
ö
é
ù
- ×
=
-
×
ê
ú
ç
÷
ë
û
ê
ú
è
ø
ë
û
( )
( )
x 0
f x f 2x
lim 2
xlnx L
x
2x
®
é
ù
æ
ö
=
-
×
=
ê
ú
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
●
( )
( )
θ 2x
x 0
θ 0 θ 0
f 2x
f
θ
lim lim 1
2x
θ
=
®
® ®
=
=
●
(
)
( )
x 0
x 0
x 0
x 0
2
1
lnx
x
lim xlnx lim lim lim x 0
1
1
x
x
-¥
+¥
®
®
®
®
=
=
= - =
-
Άρα
(
)
L 0 1 2 0
= - =
Δίνεται η συνάρτηση
(
)
f : 0,
+¥ ®
με τύπο:
( )
(
)
ln x 1
f x
x
+
=
.
Δ1.
Να αποδείξετε ότι
(
)
x
ln x 1
x 1
+ >
+
, για κάθε
x 0
>
.
Μονάδες 5
Δ2.
Να αποδείξετε ότι η
f
αντιστρέφεται και ότι το πεδίο ορισμού της
1
f
-
είναι το διάστημα
( )
0,1
.
Μονάδες 5
Δ3.
Να αποδείξετε ότι
( )
( )
f x
f x 2 1
> -
, για κάθε
x 0
>
.
Μονάδες 5
Δ4.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( )
( )
( )
1
f
α f α ημ πα
0
x 1 x 2
x
-
+
+
=
- -
, όπου
0
α 1
< <
,
έχει ακριβώς δύο ρίζες ως προς
x,
μία στο διάστημα
( )
0,1
και μια στο
διάστημα
( )
1,2
.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Δ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2018