154 / 368
153
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Β1.
Είναι
( )
+
-
®
®
+
=
=
x 1
x 1
x 1
lim f x lim 2
x
,
( )
(
)
-
+
®
®
=
+ = +
2
x 1
x 1
lim f x lim x
α 1 α
και
( )
= +
f 1
α 1
Αφού η
f
είναι συνεχής στο
h
είναι συνεχής και στο 1 .
Οπότε
( )
( ) ( )
-
+
®
®
=
= Û = + Û =
x 1
x 1
lim f x lim f x f 1 2 1
α α 1
Β2.
Είναι
( )
+ì
>
ï
= í
ï + £
î
2
x 1
, x 1
f x
x
x 1, x 1
●
Η
f
είναι συνεχής στο
é ù Í ê ú ë û
h
1
,4
2
●
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
æ ö
ç ÷
è ø
1
,1
2
με
( )
¢
=
f x 2x
●
Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
( )
1,4
με
( )
¢
¢
+æ
ö æ
ö
¢
=
= + = -
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
2
x 1
1
1
f x
1
x
x
x
Ελέγχουμε αν η
f
είναι παραγωγίσιμη και στο 1. Έχουμε λοιπόν,
( ) ( )
(
)(
)
(
)
-
-
-
-
-
®
®
®
®
®
-
- +
+ -
-
=
=
=
= + =
-
-
-
-
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
f x f 1
x 1 x 1
x 1 2 x 1
lim
lim
lim lim
lim x 1 2
x 1
x 1
x 1
x 1
( ) ( )
+
+
+
+
+
®
®
®
®
®
+
-
+ -
-
-
æ ö
=
=
=
= - = -
ç ÷
-
-
-
-
è ø
0
0
2
d.L.H.
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
1
1
2 1 2
1
f x f 1
1
x
x
x
lim
lim
lim
lim lim
1
x 1
x 1
x 1
x 1
x
Η
f
δεν είναι παραγωγίσιμη στο 1
Άρα η
f
δεν ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος
Rolle
στο
é ù
ê ú ë û
1
,4
2
Β3.
Είναι
( )
ì -
>
ï ¢
= í
ï
<
î
2
1
, x 1
f x
x
2x , x 1
Για
<
x 1
:
( )
¢
= - Û = - Û = -
1
1
1
f x
2x
x
4
4
8