Μαθηματικά Γ' Λυκείου

149 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
148
Αφού ( ) 2 2 ξ 1,ρ ξ ρ x ξ xÎ Þ < < Þ ¹
Αρκεί να δείξουμε ότι 1 ξ x¹ .
Έστω ότι
1 ξ x= τότε
( )
[ ]
( ) ( ) ( ) f 1,α
1 1 ξ 1,ρ 1 ξ ρ α 1 x α f 1 f x f α
¢
¢ ¢ ¢ Î Þ < < < Þ < < Û > >
>
( ) ( ) ( ) 1 α
1 f 1 f x f α 2e 2 0- ¢ ¢ ¢ Û > > Û - >
1 α
e 1 1 α 0 α 1 - Û > Û - > Û < Άτοπο
Άρα 1 ξ x¹ .
Όμως οι μοναδικές ρίζες της f ΄από το Δ2 είναι οι 1 x και 2 x .
Τελικά λοιπόν η εξίσωση ( ) ( )
f x f 1= είναι αδύνατη στο ( )
2 α,x .
Δ4. Για α 2= είναι ( ) x 2 2
f x 2e x- = - , xÎ .
Bρίσκουμε την εξίσωση της εφαπτομένης της f C στο ( ) ( )
Α 2,f 2 .
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
f 2 2
Α
f 2 2
ε : y f 2 f 2 x 2 y 2 2x 4 y 2x 2
=-
¢ =-
¢ - = - Û + = - + Û = - +
Από το Δ1 ερώτημα έχουμε ότι η f είναι κυρτή στο [ )
2,+¥ άρα και στο [ ]2,3
οπότε η f C είναι πάνω από την ( )Α ε για κάθε [ ]
x 2,3Î με εξαίρεση το x 2= .
Έτσι λοιπόν ισχύει ότι
( ) ( ) ( )
f x 2x 2 f x x 2 2x 2 x 2³ - + Û - ³ - + - (1)
για κάθε [ ]
x 2,3Î με το ίσο για x 2= .
Από τη σχέση (1) έχουμε ότι
( ) ( ) ( )
3 3
2 2
f x x 2 dx 2x 2 x 2 dx Ι é ù
- > - + - =ë û ò ò (2)
Για το ( )
3
2
Ι 2x 2 x 2 dx é ù = - + -ë û ò