146 / 368
145
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
( )
( )
( )
2
x 8
32
x
4
π
16
Ε Δ lim Ε x , lim Ε x
,4
π 4
+
-
®
®
+
æ
ö
æ
ö
ç
÷
=
= ç
÷
ç
÷
+ è
ø
è
ø
●
( )
32
x
4
π
32 16
lim
Ε x Ε
4
π π 4
+
®
+
æ
ö
=
=
ç
÷ +
+
è
ø
●
( )
(
)
(
)
2
x 8
x 8
π 4 x 64x 256 64 π 4 512 256
lim
Ε x lim
4
16
π
16π
-
-
®
®
+ - +
+ - +
=
=
=
Παρατηρούμε ότι
( )
1
5
Ε Δ
Î
και
5
Î
( )
2
Ε Δ
. Επιπλέον, η Ε είναι 1
-
1 στο
1
Δ
ο-
πότε υπάρχει μοναδικό
( )
0
x 0,8
Î
τέτοιο ώστε
( )
0
Ε x 5
=
.
Δίνεται η συνάρτηση
( )
x
α 2
f x 2e x
-
= -
,
x
Î
με
α 1
>
.
Δ
1
. Να αποδείξετε ότι για κάθε τιμή του
α 1
>
η γραφική παράσταση της συ-
νάρτησης
f
έχει ακριβώς ένα σημείο καμπής.
Μονάδες
3
Δ
2.
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικά
1 2
x , x
Î
με
1
2
x x
<
, τέτοια ώ-
στε η
συνάρτηση
f
να παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
1
x
και τοπικό ε-
λάχιστο στο
2
x
.
Μονάδες
7
Δ
3.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
( ) ( )
f x f 1
=
είναι αδύνατη στο
(
)
2
α,x
.
Μονάδες
6
Δ
4.
Αν
α 2
=
να αποδείξετε ότι:
( )
(
)
3
2
32
f x x 2 dx
15
- > -
ò
Μονάδες
9
ΘΕΜΑ Δ
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018