160 / 368
159
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
(
)
0,
+¥
οπότε αντιστρέφεται.
Είναι
( )
(
)
(
)
( )
( )
(
)
( )
1
f
f
x
x 0
D f D f 0,
lim f x , lim f x 0,1
-
+
®+¥
®
= = +¥ =
=
●
( )
(
)
θ x 1 x θ 1
x
x
θ
θ
θ
ln x 1
ln
θ
1
lim f x lim
lim lim 0
x
θ 1
θ
+¥
= + Û = -
+¥
®+¥
®+¥
®+¥ ®+¥
®+¥
+
=
=
=
=
-
●
( )
(
)
0
0
x 0
x 0
x 0
ln x 1
1
lim f x lim
lim 1
x
x 1
+
+
+
®
®
®
+
=
=
=
+
Δ
3.
Για κάθε
x 0
>
είναι
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
f x
f x
f x
f x 2 1 f x 1 2 ln f x 1 ln2
> - Û + > Û + >
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
f x 0,1
ln f x 1
ln f x 1 f x ln2
ln2
f x
Î
+
Û + >
Û
>
( )
(
)
( )
(
)
( )
( ) ( )
(
)
f 0,
f 0,
f f x f 1
f x 1 f x f 0
x 0
+¥
+¥
Û > Û < Û <
Û >
>
>
που ισχύει
Δ
4.
Για
( ) ( )
x 0,1 1,2
Î È
είναι
( )
( )
( )
1
f
α f α ημ πα
0
x 1 x 2
x
-
+
+
= Û
- -
(
) ( ) (
) ( ) (
)(
) ( )
1
x x 2 f
α x x 1 f α x 1 x 2 ημ πα 0
-
Û -
+ -
+ - -
=
Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) (
) ( ) (
) ( ) (
)(
) ( )
1
h x x x 2 f
α x x 1 f α x 1 x 2 ημ πα
-
= -
+ -
+ - -
,
h
D
=
Η
h
είναι συνεχής στο
πολυωνυμική.
●
Η
h
είναι συνεχής στο
[ ]
0,1
Í
και στο
[ ]
1,2
Í
●
( )
( )
h 0 2
ημ πα 0
=
>
αφού
( )
0
α 1 0 πα π ημ πα 0
< < Û < < Þ >
( )
( )
h 1 f
α 0
= - <
αφού
( ) ( )
( )
f
f
α f D f α 0
Î Þ >