156 / 368
155
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνεται η συνάρτηση
[ ]
f : 0,
π
®
με τύπο:
( )
f x 2
ημx x
= -
.
Γ1
. Να βρείτε τα ακρότατα της
f (
τοπικά και ολικά).
Μονάδες 5
Γ2.
Να αποδείξετε ότι για κάθε
[ ]
0
x 0,
π
Î
η γραφική παράσταση της
f
και η
εφαπτομένη της στο
( )
(
)
0
0
Α x ,f x
έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.
Μονάδες 5
Γ3.
Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )
π
0
f x
συνxdx
ò
.
Μονάδες 8
Γ4. α)
Να αποδείξετε ότι
( )
x 0
f x
lim 1
x
®
=
. (μονάδες 2)
β)
Να υπολογίσετε το
( ) ( )
(
)
x 0
lim f x f 2x lnx
®
é
ù
- ë
û
. (μονάδες 5)
Μονάδες
7
A
πάντηση
Γ1
.
H f
είναι συνεχής στο
[ ]
0,
π
ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και παρα-
γωγίσιμη στο
[ ]
0,
π
με
( )
f x 2
συνx 1
¢
= -
.
( )
( )
x 0,
π
1
π
f x 0 2
συνx 1 0 2συνx 1 συνx
x
2
3
Î
¢
= Û - = Û = Û = Û =
.
Άρα
( )
f x 0
¢
¹
σε κάθε ένα από τα διαστήματα
1
π
Δ 0,
3
é ö
= ÷ êë ø
και
2
π
Δ ,π
3
æ
ù
= ç
ú
è
û
και αφού είναι συνεχής θα διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα
αυτά.
Με τη βοήθεια του παραπάνω πίνακα έχουμε τον παρακάτω πίνακα
ΘΕΜΑ Γ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ 2018