16 / 368
15
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
17
. Απόδειξη
18
. Απόδειξη
Επομένως, υπάρχει
(
)
1 2
ξ x ,x
Î
τέτοιο, ώστε
( ) ( ) ( )
2
1
2 1
f x f x
f
ξ
x x
-
¢
=
-
(1).
Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει
( )
f
ξ 0
¢
=
,οπότε, λόγω της
(1) ,
είναι
( ) ( )
1
2
f x f x
=
.
P
Αν
2
1
x x
<
, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι
( ) ( )
1
2
f x f x
=
.
Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι
( ) ( )
1
2
f x f x
=
.
( )
( )
( ) ( )
¢
¢
Þ
f x = g x f x = g x + c
Έστω δύο συναρτήσεις
f
και
g
ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
P
οι
f
και
g
είναι συνεχείς στο Δ και
P
( )
( )
f x g x
¢
¢=
για κάθε εσωτερικό σημείο
x
του Δ
τότε υπάρχει σταθερά
c
τέτοια, ώστε για κάθε
x
Δ
Î
να ισχύει:
( ) ( )
f x g x c
= +
Απόδειξη
Η συνάρτηση
f g
-
είναι συνεχής στο Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο
x
Δ
Î
ισχύει
(
) ( ) ( ) ( )
f g x f x g x 0
¢
¢
¢
- = - =
.
Επομένως, σύμφωνα με το παραπάνω θεώρημα, η συνάρτηση
f g
-
είναι στα-
θερή στο Δ. Άρα, υπάρχει σταθερά
c
τέτοια, ώστε για κάθε
x
Δ
Î
να ισχύει
( ) ( )
f x g x c
- =
, οπότε
( ) ( )
f x g x c
= +
.
Μονοτονία Συνάρτησης
Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
P
Αν
( )
f x 0
¢
>
σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως
αύξουσα σε όλο το Δ.
P
Αν
( )
f x 0
¢
<
σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως
φθίνουσα σε όλο το Δ
.
Απόδειξη
Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
( )
f x 0
¢
>
.