19 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
18
21
. Απόδειξη
Επομένως, λόγω των
( )
1
και
( )
2
, ισχύει:
( ) ( )
0
f x f x
£
, για κάθε
( )
x
α,β
Î
,
που σημαίνει ότι το
( )
0
f x
είναι μέγιστο της f στο
( )
α,β
και άρα τοπικό
μέγιστο αυτής.
ii)
Εργαζόμαστε αναλόγως.
Κριτήριο Τοπικών Ακροτάτων
Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα
( )
α,β
, με εξαίρεση
ίσως ένα σημείο του
0
x
, στο οποίο όμως η f είναι
συνεχής
.
Aν η
( )
f x
¢
διατηρεί πρόσημο στο
0
0
(
α,x ) (x ,β)
È
, τότε το
( )
0
f x
δεν είναι το-
πικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο
( )
α,β
.
Απόδειξη
Έστω ότι
( )
f x 0
¢
>
, για κάθε
(
) (
)
0
0
x
α,x
x ,β
Î È
.
Επειδή η f είναι συνεχής στο
0
x
θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα
διαστήματα
(
]
0
α,x
και
[
)
0
x ,
β
. Επομένως, για
1
0
2
x x x
< <
ισχύει
( ) ( ) ( )
1
0
2
f x f x f x
< <
. Άρα το
( )
0
f x
δεν είναι τοπικό ακρότατο της f. Θα δεί-