Μαθηματικά Γ' Λυκείου

21 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
20
23. Απόδειξη
24. Απόδειξη
Θεμελιώδες Θεώρημα Ολοκληρωτικού Λογισμού
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [ ]α,β . Αν G είναι μια παρά-
γουσα της f στο [ ]α,β , τότε
( ) ( ) ( )
= - ò β
α
f t dt G β G α
Απόδειξη
Η συνάρτηση ( ) ( ) x
α
F x f t dt= ò είναι μια παράγουσα της f στο [ ]α,β . Επειδή και
η G είναι μια παράγουσα της f στο [ ]α,β , θα υπάρχει c Î τέτοιο, ώστε
( ) ( )
G x F x c= + . (1)
Από την (1), για x α = , έχουμε
( ) ( ) ( ) α
α
G α F α c f t dt c c= + = + = ò .
Οπότε
( )
c G α =
Επομένως,
( ) ( ) ( )
G x F x G α = + ,
οπότε, για x β = , έχουμε
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) β
α
G β F β G α f t dt G α= + = + ò
και άρα
( ) ( ) ( ) β
α
f t dt G β G α = - ò .
Εμβαδόν μεταξύ f C και g C
Έστω δυο συναρτήσεις f και g, συνεχείς στο διάστημα [ ]α,β με ( ) ( )³ ³
f x g x 0
για κάθε [ ]
Î
x α,β και Ω το χωρίο που περικλείεται από τις γραφικές παραστά-
σεις των f, g και τις ευθείες x α = και x β = .