20 / 368
19
Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
22
. Απόδειξη
ξουμε, τώρα, ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο
( )
α,β
. Πράγματι, έστω
( )
1 2
x ,x
α,β
Î
με
1
2
x x
<
.
P
Αν
(
]
1 2
0
x ,x
α,x
Î
, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο
(
]
0
α,x
, θα ισχύει
( ) ( )
1
2
f x f x
<
.
P
Αν
[
)
1 2
0
x ,x x ,
β
Î
, επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο
[
)
0
x ,
β
, θα ισχύει
( ) ( )
1
2
f x f x
<
.
P
Τέλος, αν
1
0
2
x x x
< <
, τότε
( ) ( ) ( )
1
0
2
f x f x f x
< <
.
Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει
( ) ( )
1
2
f x f x
<
, οπότε η
f είναι γνη-
σίως αύξουσα στο
( )
α,β
.
Ομοίως, αν
( )
f x 0
¢
<
για κάθε
(
) (
)
0
0
x
α,x
x ,β
Î È
.
Παράγουσες συνάρτησης
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγου-
σα της f στο Δ, τότε:
P
όλες οι συναρτήσεις της μορφής
( ) ( )
= +
G x F x c
,
c
Î
,είναι παράγουσες
της f στο Δ .
P
κάθε άλλη παράγουσα
G
της f στο Δ παίρνει τη μορφή
( ) ( )
= +
G x F x c
,
c
Î
.
Απόδειξη
P
Κάθε συνάρτηση της μορφής
G(x) F(x) c
= +
, όπου
c
Î
, είναι μια παρά-
γουσα της f στο Δ, αφού
( )
( )
(
)
( ) ( )
¢
¢
¢
= + = =
G x F x c F x f x
, για κάθε
x
Δ
Î
.
P
Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ.
Τότε για κάθε
x
Δ
Î
ισχύουν
( ) ( )
¢
=
F x f x
και
( ) ( )
¢
=
G x f x
, οπότε
( ) ( )
¢
¢=
G x F x
,
για κάθε
x
Δ
Î
.
Άρα, σύμφωνα με το πόρισμα της § 2.6, υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε
( ) ( )
= +
G x F x c
, για κάθε
x
Δ
Î
.