Μαθηματικά Γ' Λυκείου

11 / 368

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
10
6. Απόδειξη
7. Απόδειξη
8. Απόδειξη
Παράγωγος σταθερής συνάρτησης
Έστω η σταθερή συνάρτηση ( )
f x c= , cÎ .
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( )
f x 0¢ = , δηλαδή
( )c 0¢ = .
Απόδειξη
Πράγματι, αν 0 x είναι ένα σημείο του , τότε για 0 x x¹ ισχύει:
( ) ( )0
0 0
f x f x c c
0
x x x x
- -
= =
- -
.
Επομένως,
( ) ( )
0
0
x x
0
f x f x
lim 0
x x ®
-
=
-
, δηλαδή ( )c 0¢ = .
Παράγωγος της ( )
f x = x
Έστω η συνάρτηση ( )
f x x= .
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( )
f x 1¢ = , δηλαδή
( )x 1¢ = .
Απόδειξη
Πράγματι, αν 0 x είναι ένα σημείο του , τότε για 0 x x¹ ισχύει:
( ) ( )0 0
0 0
f x f x x x
1
x x x x
- -
= =
- -
.
Επομένως,
( ) ( )
0 0
0
x x x x
0
f x f x
lim lim1 1
x x ® ®
-
= =
-
,δηλαδή ( )x 1¢ = .
Παράγωγος της ( ) { }
ν
f x = x , ν N - 0,1Î
Έστω η συνάρτηση ( ) ν
f x x= , { }
ν 0,1 Î - .
Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) ν 1
f x νx - ¢ = , δηλαδή
( )ν ν 1
x νx - ¢ = .