Background Image
Previous Page  11 / 368 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 368 Next Page
Page Background

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού

10

6.

Απόδειξη

7. Απόδειξη

8.

Απόδειξη

Παράγωγος σταθερής συνάρτησης

Έστω η σταθερή συνάρτηση

( )

f x c

=

,

c

Î

.

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει

( )

f x 0

¢

=

, δηλαδή

( )

c 0

¢ =

.

Απόδειξη

Πράγματι, αν

0

x

είναι ένα σημείο του , τότε για

0

x x

¹

ισχύει:

( ) ( )

0

0

0

f x f x c c

0

x x

x x

-

-

= =

-

-

.

Επομένως,

( ) ( )

0

0

x x

0

f x f x

lim

0

x x

®

-

=

-

, δηλαδή

( )

c 0

¢ =

.

Παράγωγος της

( )

f x = x

Έστω η συνάρτηση

( )

f x x

=

.

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει

( )

f x 1

¢

=

, δηλαδή

( )

x 1

¢ =

.

Απόδειξη

Πράγματι, αν

0

x

είναι ένα σημείο του , τότε για

0

x x

¹

ισχύει:

( ) ( )

0

0

0

0

f x f x x x

1

x x

x x

-

-

= =

-

-

.

Επομένως,

( ) ( )

0

0

0

x x

x x

0

f x f x

lim

lim1 1

x x

®

®

-

= =

-

,δηλαδή

( )

x 1

¢ =

.

Παράγωγος της

( )

{ }

ν

f x = x ,

ν N - 0,1

Î

Έστω η συνάρτηση

( )

ν

f x x

=

,

{ }

ν

0,1

Î -

.

Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο

και ισχύει

( )

ν 1

f x

νx

-

¢

=

, δηλαδή

( )

ν

ν 1

x

νx

-

¢ =

.