13 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
12
10. Απόδειξη
11. Απόδειξη
Παράγωγος Αθροίσματος
Αν οι συναρτήσεις
f,g
είναι παραγωγίσιμες στο
0
x
, τότε η συνάρτηση
f g
+
είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
και ισχύει:
(
) ( ) ( ) ( )
0
0
0
f g x f x g x
¢
¢
¢
+
= +
Απόδειξη
Για
0
x x
¹
, ισχύει:
(
)( ) (
)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0
0
0
0
0
0
0
f g x f g x f x g x f x g x f x f x g x g x
x x
x x
x x
x x
+ - +
+ - -
-
-
=
=
+
-
-
-
-
Επειδή οι συναρτήσεις
f,g
είναι παραγωγίσιμες στο
0
x
, έχουμε:
(
)( ) (
)( )
0
0
x x
0
f g x f g x
lim
x x
®
+ - +
=
-
( ) ( )
( ) ( )
®
®
-
-
+
-
-
0
0
0
0
x x
x x
0
0
f x f x
g x g x
lim
lim
x x
x x
( ) ( )
0
0
f x g x
¢
¢
= +
.
Δηλαδή
(
) ( ) ( ) ( )
0
0
0
f g x f x g x
¢
¢
¢
+
= +
.
Παράγωγος της
( )
-
ν
*
f x = x ,
ν N
Î
Η συνάρτηση
( )
ν
f x x
-
=
,
*
ν
Î
είναι παραγωγίσιμη στο
*
με
( )
ν 1
f x
νx
- -
¢
= -
,
δηλαδή
( )
ν
ν 1
x
νx
-
- -
¢ = -
.
Απόδειξη
Πράγματι, για κάθε
*
x
Î
έχουμε:
( )
( )
( )
( )
ν
ν
ν 1
ν
ν 1
2
ν
2ν
ν
1 x 1 x
1
νx
x
νx
x
x
x
-
-
- -
¢
¢
¢ -
-
æ ö
¢ = =
=
= -
ç ÷
è ø
.
Σχόλιο
:
Επειδή
( )
ν
ν 1
x
νx
-
¢ =
, για κάθε φυσικό
ν 1
>
προκύπτει πως για
{ }
κ
0,1
Î -
, θα ισχύει
( )
κ
κ
x
κx
-
¢ =
1
.