9 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
8
3. Απόδειξη
4. Απόδειξη
Όριο ρητής συνάρτησης
Να αποδείξετε ότι
( )
( )
( )
( )
0
0
x x
0
P x P x
lim
Q x Q x
®
=
,
εφόσον
( )
0
Q x 0
¹
.
Απόδειξη
Για τη ρητή συνάρτηση
( ) ( )
( )
P x
f x
Q x
=
, όπου
( )
P x
,
( )
Q x
πολυώνυμα του x και
0
x
Î
με
( )
0
Q x 0
¹
, ισχύει ότι:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
x x
0
x x
x x
0
x x
limP x
P x
P x
lim f x lim
Q x limQ x Q x
®
®
®
®
=
=
=
.
Επομένως,
( )
( )
( )
( )
0
0
x x
0
P x P x
lim
Q x Q x
®
=
,
( )
0
Q x 0
¹
Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα
[ ]
α,β
.
Αν:
P
η f είναι συνεχής στο
[ ]
α,β
και
P
( ) ( )
f
α f β
¹
τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των
( )
f
α
και
( )
f
β
υπάρχει ένας τουλάχιστον
( )
0
x
α,β
Î
τέτοιος, ώστε
( )
0
f x
η
=
.
Απόδειξη
Ας υποθέσουμε ότι
( ) ( )
f
α f β
<
. Τότε θα ισχύει
( )
( )
f
α η f β
< <
. Αν θεωρήσουμε
τη συνάρτηση
( ) ( )
g x f x
η
= -
,
[ ]
x
α,β
Î
, παρατηρούμε ότι: