Background Image
Previous Page  10 / 368 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 368 Next Page
Page Background

9

Μαθηματικά Προσανατολισμού – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ

5. Απόδειξη

P

η g είναι συνεχής στο

[ ]

α,β

και

P

( ) ( )

g

α g β 0

<

,

Αφού

( ) ( )

g

α f α η 0

= - <

( ) ( )

g

β f β η 0

= - >

.

Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει

( )

0

x

α,β

Î

τέτοιο,

ώστε

( ) ( )

0

0

g x f x

η 0

= - =

, οπότε

( )

0

f x

η

=

.

Παράγωγος και συνέχεια

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο

0

x

, τότε είναι και συνε-

χής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη

Για

0

x x

¹

έχουμε

:

( ) ( ) ( ) ( ) (

)

0

0

0

0

f x f x

f x f x

x x

x x

-

- =

× -

-

.

Οπότε

( ) ( )

( ) ( ) (

)

0

0

0

0

0

x x

x x

0

f x f x

lim f x f x

lim

x x

x x

®

®

é

-

ù

é - ù =

× -

ê

ú

ë

û

- ë

û

( ) ( )

(

)

0

0

0

0

x x

x x

0

f x f x

lim

lim x x

x x

®

®

-

=

×

-

-

( )

0

f x 0 0

¢= × =

αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο

0

x

.

Επομένως,

( ) ( )

0

0

x x

lim f x f x

®

=

, δηλαδή η f είναι συνεχής στο

0

x

.