140 / 368
139
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
ε)
Κάθε κατακόρυφη ευθεία έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με τη γρα-
φική παράσταση μιας συνάρτησης
f.
Μονάδες 10
A
πάντηση
Α1.
Για
0
x x
¹
έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( ) (
)
0
0
0
0
f x f x
f x f x
x x
x x
-
- =
× -
-
.
Οπότε
( ) ( )
( ) ( ) (
)
0
0
0
0
0
x x
x x
0
f x f x
lim f x f x
lim
x x
x x
®
®
é
-
ù
é - ù =
× -
ê
ú
ë
û
- ë
û
( ) ( )
(
)
0
0
0
0
x x
x x
0
f x f x
lim
lim x x
x x
®
®
-
=
×
-
-
( )
0
f x 0 0
¢= × =
αφού η f είναι παραγωγίσιμη στο
0
x
.
Επομένως,
( ) ( )
0
0
x x
lim f x f x
®
=
, δηλαδή η f είναι συνεχής στο
0
x
.
Α2. α)
Ψ
β)
Έστω η συνάρτηση
( )
x , x 0
g x 1
, x 0
x
£
ì
ï
= í
>
ïî
.
Είναι 1
-
1 στο
αλλά όχι γνησίως μονότονη.
Α3.
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα
[ ]
α,β
.
Αν G είναι μια παράγουσα της f στο
[ ]
α,β
, τότε
( )
( ) ( )
= -
ò
β
α
f t dt G
β G α
.
A4.