138 / 368
137
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δηλαδή για κάθε
π
x
,0
2
é
ù
Î -ê
ú
ë
û
είναι
( )
2
3 f x
3
π
£ £ - +
με το «=» για μεμονω-
μένες τιμές του
x.
Οπότε έχουμε
( )
( )
0
0
0
0
π
π
π
π
2
2
2
2
2
π
π 2 3π
2dx
f x dx
3 dx 2
f x dx
π
2
2 π
-
-
-
-
- +
æ
ö
æ
ö
<
< - + Û <
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ò
ò
ò
ò
( )
( )
0
0
π
π
2
2
3
π 2
3π
π f x dx
π f x dx
1
2
2
-
-
-
Û <
< Û <
< -
ò
ò
Δ5.
Για
( )
Î Û < < Û > - > -
π π
x 0,1 0 x 1 0 x
2 2
.
Ακόμη
-
-
-
-
< < Û > - > - Û > > Û- < - < - <
x
1
x
1
π π
π
0 x 1 0 x 1 1 e e
e
e 0
2 2
2
.
Άρα
æ
ö
- Î -ç
÷
è
ø
π π
x
,0
2
2
και
-
æ
ö
- Î -ç
÷
è
ø
x
π
π
e
,0
2
2
.
Όμως η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
æ
ö -ç
÷
è
ø
π
,0
2
οπότε και «1
-
1» στο
æ
ö -ç
÷
è
ø
π
,0
2
.
Έτσι λοιπόν για
( )
Î
x 0,1
η εξίσωση γράφεται
f:1 1
x
x
x
x
π
π
π π
f
x f
e
x
e e x e x 0
2
2
2 2
-
-
-
-
-
æ
ö æ
ö
- = -
Û- = - Û = Û - =
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
(2)
Θεωρούμε
( )
x
h x e x
-
= -
με
( )
h
D 0,1
=
και
h
συνεχής στο
( )
0,1
ως διαφορά
συνεχών συναρτήσεων.
Είναι
( )
x
h x e 1
-
¢
= - -
για κάθε
( )
x 0,1
Î
άρα h γνησίως φθίνουσα στο
( )
0,1
.
Οπότε
( )
(
)
( )
( )
(
)
(
)
1
x 1
x 0
1 e
h 0,1 limh x , lim h x e 1,1
,1
e
-
+
-
®
®
-æ
ö
=
= - = ç
÷
è
ø
Είναι
( )
(
)
0 h 0,1
Î
και
h
: “1
-
1” στο
( )
0,1
άρα η εξίσωση
(2)
) έχει μοναδική
λύση στο
( )
0,1
.