133 / 368
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Μαθηματικά Προσανατολισμού
132
Για να μην ικανοποιεί η
f
τις υποθέσεις του Θεωρήματος Ενδιαμέσων Τιμών
πρέπει
( ) ( )
( )
= Û =
f 0 f 3 f 3 2
Ας είναι Ω το χωρίο που περικλείεται μεταξύ της
¢
f
C
και των ευθείων
=
x 0
και
=
x 3
.
Έχουμε ότι
( )
( )
( )
( )
¢
¢
¢
=
=
+
ò
ò
ò
3
2
3
0
0
2
E Ω f x dx f x dx f x dx
( )
(
)
( )
¢
¢
= -
+
ò
ò
2
3
0
2
f x dx f x dx
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
= é- ù + é ù = - + + -
ë
û ë û
2
3
0
2
f x
f x
f 2 f 0 f 3 f 2
( )
= - +
2f 2 4
Όμως
( )
( )
( )
( )
= Û- + = Û- = Û = -
E Ω 8 2f 2 4 8 2f 2 4 f 2 2
( )
( )
( )
®
®
¢
¢
=
= = -
0
0
x 1
d.L.H. x 1
f x
f x
lim lim f 1 3
1
lnx
x
διότι η
¢
f
συνεχής στο
[ ]
0,3
από το σχήμα.
( )
( )
®
®
=
= -¥
¢
-
0
0
x 0
d.L.H. x 0
x
1
lim
lim
f x 2
f x
διότι
( )
®
¢
=
x 0
limf x 0
και για
x
κοντά στο 0 με
>
x 0
από το σχήμα προκύπτει ότι
( )
¢
<
f x 0
.
Γ2.
Με τη βοήθεια της
¢
f
C
έχουμε τον παρακάτω πίνακα μεταβολών
●
Η
f
είναι γνησίως φθίνουσα στο
[ ]
0,2
και γνησίως αύξουσα στο
[ ]
2,3
.
●
Η
f
παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο
=
1
x 0
με τιμή
( )
=
f 0 2
.
●
Η
f
παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο
=
2
x 2
με τιμή
( )
= -
f 2 2
.