136 / 368
135
Μαθηματικά Προσανατολισμού– Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Άρα
f
συνεχής στο
[
)
+¥
0,
.
● Η
f
είναι συνεχής στο
[ ] [
)
Í +¥
0,2 0,
● Η
f
είναι παραγωγίσιμη στο
( )
0,2
με
( )
¢
= -
2
f x 3x 6x
Οπότε η
f
ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής.
Δ2.
Αφού η
f
είναι συνεχής στο
f
D
είναι συνεχής και στο 0 οπότε
( )
( ) ( )
+
-
®
®
=
=
x 0
x 0
lim f x lim f x f 0
(1)
Είναι
( )
-
-
®
®
æ
ö
= - + = - +
ç
÷
è
ø
x 0
x 0
ημx
lim f x lim
α 1 α
x
Από
(1)
Û - = Û =
α 1 2 α 3
Δ3.
Είναι
( )
ì - + - £ <
ï
ï
=
=
í
ï - +
>
ï
î
3
2
ημx
π
3 ,
x 0
x
2
f x 2 , x 0
x 3x 2 , x 0
Για
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
π
x
,0
2
:
( )
-
-
¢
= -
=
2
2
x
συνx ημx ημx xσυνx
f x
x
x
Οι ρίζες και το πρόσημο της
( )
¢
f x
στο
æ
ö -ç
÷
è
ø
π
,0
2
εξαρτώνται
από το
-
ημx xσυνx
αφού
>
2
x 0
για κάθε
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
π
x
,0
2
.
Θεωρούμε
( )
= -
g x
ημx xσυνx
,
é
ù
= -ê
ú
ë
û
g
π
D
,0
2
που είναι συ-
νεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων.
Επίσης
( )
¢
= - + = >
g x
συνx συνx xημx xημx 0
για κάθε
æ
ö
Î -ç
÷
è
ø
π
x
,0
2
.