90 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
α) Η ΟΒ είναι ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής Β της εφαπτομένης ΓΒ,
άρα
0
ΟΒΓ 90
=
, δηλαδή το τρίγωνο ΒΟΓ είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την
ΟΓ. Στο ορθογώνιο επομένως τρίγωνο ΒΟΓ είναι
0
ΒΓΟ 30
=
άρα,
1 ΟΒ ΟΓ
2
=
(1).
Όμως
ΟΑ = ΟΒ (2)
ως ακτίνες του κύκλου.
Άρα, από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει
1 ΟΑ ΟΓ
2
= ⇔
ΟΓ=2ΟΑ.
β) Η γωνία
ΑΔΒ
είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο. Συνεπώς,
0
ΑΔΒ ΟΒΓ 90
= =
(3).
Επίσης, το σημείο Δ είναι το μέσο της ΟΓ γιατί ΟΓ=2ΟΑ=2ΟΔ οπότε στο
ορθογώνιο τρίγωνο ΟΒΓ η
ΒΔ
είναι διάμεσος που αντιστοιχεί στην
υποτείνουσά του ΟΓ άρα, θα είναι
ΟΓ
ΒΔ
ΟΔ
2
= = ⇔
ΒΔ ΟΒ
=
(4).
Τέλος,
ΑΒ=2ΟΑ=2ΟΔ=ΟΓ (5)
Άρα, τα τρίγωνα ΑΔΒ και ΒΟΓ είναι ίσα γιατί σύμφωνα με τις σχέσεις (3), (4) και
(5) είναι
•
0
ΑΔΒ ΟΒΓ 90
= =
•
ΒΔ ΟΒ
=
και
•
ΑΒ=ΟΓ.
Άρα, ΒΓ=ΑΔ.
89