88 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
+ = ⇔
0
0
30 ΑΒΓ 90
0
ΑΒΓ 60
=
.
Επειδή ΟΑ=ΟΓ=R το τρίγωνο ΟΑΓ είναι ισοσκελές άρα, θα είναι
0
ΒΑΓ ΑΓΟ 30
= =
(1).
Επίσης, η γωνία
ΓΟΔ
είναι εξωτερική του τριγώνου ΑΟΓ, συνεπώς
= + ⇔
ΓΟΔ ΒΑΓ ΑΓΟ
= + ⇔
0
0
ΓΟΔ 30 30
=
0
ΓΟΔ 60
.
Επιπλέον, η ΟΓ είναι ακτίνα που καταλήγει στο σημείο επαφής Γ της
εφαπτομένης ΓΔ άρα,
0
ΟΓΔ 90
=
.
Στο ορθογώνιο επομένως τρίγωνο ΟΓΔ είναι
+ = ⇔
0
Δ ΓΟΔ 90
+ = ⇔
0
0
Δ 60 90
0
Δ 30
=
.
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΒ είναι
0
ΒΑΓ 30
=
οπότε
ΑΒ ΒΓ
2
= ⇔
ΒΓ ΟΓ
=
και επειδή ΟΓ=ΟΑ ως ακτίνες κύκλου τελικά ΒΓ=ΟΑ(2).
Επίσης, επειδή
0
ΑΒΓ 60
=
θα είναι
0
ΓΒΔ 120
=
(3).
Έχουμε αποδείξει όμως ότι και
0
ΓΟΔ 60
=
άρα, θα είναι και
0
ΓΟΑ 120
=
(4).
Έτσι έχουμε ότι
ΓΒΔ ΓΟΑ
=
(5).
Τέλος,
ΒΓΔ Α
=
(6) ως γωνία χορδής και εφαπτομένης.
87