Γεωμετρία A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

87 / 226

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου
Από τις σχέσεις (1) και (2) συμπεραίνουμε ότι ΒΜ=ΓΜ άρα, το τρίγωνο ΒΜΓ
είναι ισοσκελές.
β) Το τετράπλευρο ΟΒΑΓ είναι εγγράψιμο σε κύκλο γιατί οι απέναντι γωνίες του
Β και Γ είναι παραπληρωματικές. Επομένως, οι γωνίες του 
ΒΜΓ και 
xΟy θα
είναι μία επίκεντρη και μία εγγεγραμμένη αντίστοιχα γωνία στον
περιγεγραμμένο του κύκλο, οι οποίες θα βαίνουν στο ίδιο τόξο 
ΒΓ . Συνεπώς,
θα ισχύει  
ΒΜΓ 2 xΟy= ⋅ .
Απάντηση:
α) Η γωνία 
ΑΓΒ είναι εγγεγραμμένη που βαίνει σε ημικύκλιο επομένως, θα
είναι ορθή, δηλαδή  0 ΑΓΒ 90= . Στο ορθογώνιο επομένως τρίγωνο ΑΓΒ είναι
 + = ⇔0 ΒΑΓ ΑΒΓ 90
Δίνεται κύκλος (Ο,R) διαμέτρου ΑΒ, χορδή ΑΓ τέτοια ώστε  0 ΒΑΓ 30= . Στο
σημείο Γ φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου, η οποία τέμνει την προέκταση
της διαμέτρου ΑΒ (προς το Β) στο σημείο Δ.
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΟΓΔ.
(Μονάδες 12)
β) Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΟΓ και ΓΒΔ είναι ίσα.
(Μονάδες 13)
300
Γ
Α Β Δ Ο •
ΘΕΜΑ 5153
86