116 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Για να αποδείξουμε ότι το Κ ανήκει και στη μεσοκάθετο του Α'Β' αρκεί να
αποδείξουμε ότι
ΚΑ΄=ΚΒ΄.
Στο τρίγωνο ΚΑΑ΄ η ΚΛ είναι διάμεσος και ύψος άρα, το τρίγωνο ΚΑΑ΄ είναι
ισοσκελές με
ΚΑ=ΚΑ΄ (1).
Στο τρίγωνο ΚΒΒ΄ η ΚΜ είναι διάμεσος και ύψος άρα, το τρίγωνο ΚΒΒ΄ είναι
ισοσκελές με
ΚΒ=ΚΒ΄ (2).
Όμως επειδή το Κ ανήκει και στη μεσοκάθετο του ΑΒ είναι και
ΚΑ=ΚΒ (3).
Από τις σχέσεις (1), (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι
ΚΑ΄=ΚΒ΄.
β) Παρατηρούμε ότι
( )
⊥
ΑΑ΄ ε
και
( )
⊥
ΒΒ΄ ε
άρα, θα είναι ΑΑ΄//ΒΒ΄.
Επειδή και η ΑΒ δεν είναι κάθετη στην (ε) συμπεραίνουμε ότι οι ΑΒ και Α΄Β΄ δεν
είναι παράλληλες άρα το τετράπλευρο ΑΒΒ'Α΄ έχει μόνο δυο πλευρές
παράλληλες άρα, είναι τραπέζιο.
γ) Για να είναι το τετράπλευρο ΑΒΒ'Α' ορθογώνιο πρέπει οι γωνίες του να είναι
ορθές. Τότε όμως θα έχουμε
⊥
ΑΒ ΑΑ΄
και
( )
⊥
ε ΑΑ΄
Επομένως, θα είναι
ΑΒ//(ε).
115