114 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
i. Στο τρίγωνο ΟΜ
1
Μ η ΟΚ είναι διάμεσος και ύψος. Άρα, το τρίγωνο ΟΜ
1
Μ
είναι ισοσκελές με ΟΜ = ΟΜ
1
.
ii. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΟΜ
1
Μ η ΟΚ είναι διάμεσος και ύψος. Άρα, η ΟΚ θα
είναι και διχοτόμος δηλαδή
=
1
2
ΜΟΜ 2Ο
(1).
Στο τρίγωνο ΟΜ
1
Μ
2
η ΟΛ είναι διάμεσος και ύψος. Άρα, το τρίγωνο ΟΜ
1
Μ
2
είναι ισοσκελές με ΟΜ
1
= ΟΜ
2
άρα, η ΟΛ είναι και διχοτόμος δηλαδή
=
1
2
3
Μ ΟΜ 2Ο
(2).
Είναι όμως
=
+
2
1
1
2
ΜΟΜ ΜΟΜ Μ ΟΜ
(3).
Η σχέση (3) λόγω των σχέσεων (1) και (2) δίνει
(
)
= + = + = ⋅
=
0
0
2
2
3
2
3
ΜΟΜ 2Ο 2Ο 2 Ο Ο 2 90 180
.
Άρα, τα σημεία Μ, Ο και Μ
2
είναι συνευθειακά.
iii. Το ΚΟΛΜ
1
έχει τρεις γωνίες ορθές άρα, είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Επομένως, θα είναι και
=
0
1
ΚΜ Λ 90
συνεπώς, το τρίγωνο ΜΜ
1
Μ
2
είναι ορθογώνιο.
β) Όμοια με το α) ερώτημα είναι ΟΜ
3
= ΟΜ
2
οπότε
ΟΜ
3
= ΟΜ
1
= ΟΜ
2
= ΟΜ
.
Ακόμη, αποδεικνύεται ότι και τα σημεία Μ
2
, Ο και Μ
3
είναι συνευθειακά.
Άρα, στο τετράπλευρο ΜΜ
1
Μ
2
Μ
3
οι ΜΜ
2
και Μ
1
Μ
3
είναι οι διαγώνιοί του, οι
οποίες είναι ίσες και διχοτομούνται.
Επομένως, το ΜΜ
1
Μ
2
Μ
3
είναι ορθογώνιο.
113