110 / 226
Τράπεζα Θεμάτων Γεωμετρίας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Όμως
= +
ΕΔΓ ΕΔΟ ΟΔΓ
Άρα, λόγω των σχέσεων (1) και (2) ισοδύναμα έχουμε ότι
= + ⇔
0
0
60 ΕΔΟ 30
=
0
ΕΔΟ 30
(3).
Τέλος, είναι
=
0
ΑΔΓ 90
(4)
και
= + +
ΑΔΓ ΑΔΕ ΕΔΟ ΟΔΓ
(5)
Η σχέση (5) λόγω των σχέσεων (1), (3) και (4) δίνει
= + + ⇔
0
0
0
90 ΑΔΕ 30 30
=
0
ΑΔΕ 30
(6).
Από τις σχέσεις (1), (3) και (6) συμπεραίνουμε ότι η γωνία
ΑΔΓ
χωρίζεται από
τη ΔΕ και τη διαγώνιο ΔΒ σε τρεις ίσες γωνίες.
β) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΔΕ είναι
+ = ⇔
(6)
0
ΑΔΕ ΕΑΔ 90
+ = ⇔
0
0
30 ΕΑΔ 90
=
0
ΕΑΔ 60
.
Ακόμη, είναι
= + ⇔
(3),(6)
ΑΔΟ ΑΔΕ ΕΔΟ
= + ⇔
0
0
ΑΔΟ 30 30
=
0
ΑΔΟ 60
.
Συνεπώς, το τρίγωνο ΑΔΟ έχει δύο γωνίες ίσες με
0
60
άρα και η τρίτη γωνία θα
είναι ίση με
0
60
. Δηλαδή το τρίγωνο ΑΔΟ είναι ισόπλευρο οπότε ΑΟ=ΑΔ (7).
Επειδή όμως ΑΒΓΔ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι ΑΔ=ΓΒ (8).
Από τις σχέσεις (7) και (8) συμπεραίνουμε ότι ΑΟ=ΓΒ.
Επιπλέον,
= − = − =
0
0
0
0
ΑΓΒ 90 ΔΓΑ 90 30 60
.
Έτσι τα τρίγωνα ΑΖΟ και ΑΒΓ είναι ίσα γιατί
•
= =
0
ΖΟΑ Β 90
•
(
)
= = =
0
ΟΑΖ ΑΓΒ ΕΑΔ 60
•
ΑΟ=ΓΒ.
109