Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

23 / 146

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου
22
Δίνεται το σύστημα:
 
 
α 1 x 3y 3
x α 1 y 3
   

   
, με παράμετρο α  .
α. Να αποδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την  
0 0 x , y , τότε
0 0 x y . (Μονάδες 10)
β. Να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το σύστημα:
i. έχει άπειρες σε πλήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους.
(Μονάδες 6)
ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες 4)
γ. Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών που προκύπτουν από
τις εξισώσεις του παραπάνω συστήματος για 3 , 2 , 2        .
(Μονάδες 5)
Απάντηση:
α. Οι ορίζουσες του συστήματος θα είναι:
   2 2 1 3
D 1 1 3 1 3 4
1 1
 
             
 
   
x
3 3
D 3 1 9 3 3 9 3 6 3 2
3 1
              
 
   
y
1 3
D 3 1 3 3 3 3 3 6 3 2
1 3
 
               .
Για α 2 και α 2 D 0     το σύστημα θα έχει μοναδική λύση την:
   
  
x
0 2
3 α 2 3 α 2 D 3
x
D α 4 α 2 α 2 α 2
 
   
   
   
  
y
0 2
D 3 α 2 3 α 2 3
y
D α 4 α 2 α 2 α 2
 
   
   
άρα 0 0 x y  .
β. i. Για α 2 το σύστημα γίνεται:
ΘΕΜΑ 16. 4-17839