Αλγεβρα Β' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

132 / 146

131
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Β’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
γ. Πόσος χρόνος θα έχει περάσει όταν ο αγροτικός πληθυσμός της
περιοχής θα έχει μειωθεί στους χίλιους αγρότες; Να αιτιολογήσετε την
απάντησή σας. (Μονάδες 9)
Απάντηση:
α. Ο αρχικός πληθυσμός προκύπτει για t 0  
  c 0
0 Q 0 Q e 
     0 Q 0 Q 
όμως γνωρίζουμε ότι ο αρχικός ήταν 8 χιλιάδες αγρότες, συνεπώς:
0 Q 8  .
Μετά από 2 χρόνια έμεινε ο μισός πληθυσμός, δηλαδή 4 χιλιάδες. Άρα:
  Q 2 4  c 2 8 e 4
   2 c 1
e
2
   2c ln2   
1
c ln2
2
 
Άρα:  
t
ln2
2 Q t 8 e

 
β. Μετά από 4 χρόνια ο πληθυσμός θα ισούται με:
 
4
ln2
2 Q 4 8 e

    
1
ln
2ln2 ln4 4 1
Q 4 8 e 8 e 8 e 8 2
4
 
        
Μετά από 4 χρόνια ο πληθυσμός των αγροτών θα είναι 2 χιλιάδες.
γ. Για να βρούμε τον χρόνο που χρειάζεται ώστε ο πληθυσμός να φτάσει
τους χίλιους αγρότες, αρκεί να λύσουμε την εξίσωση:   Q t 1 .
Έχουμε λοιπόν:  
t
ln2
2 Q t 1 8e 1

   
t
ln2
2 1
e
8

 
t 1
ln2 ln
2 8
  
tln2 2ln8  t ln2 ln64  t t 6 2 64 2 2     t 6 
Μετά από 6 χρόνια θα έχουν απομείνει χίλιοι αγρότες.
Δίνεται η συνάρτηση   x
f x α 2 β    για κάθε x και α,β . Η γραφική
παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από τα σημεία   A 1,3 και   B 2,13 .
α. Να αποδείξετε ότι α=5 και β=-7. (Μονάδες 7)
β. Να βρείτε το κοινό σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f
με τον άξονα y’y. (Μονάδες 4)
γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο .
(Μονάδες 7)
δ. Να λύσετε την ανίσωση   x f 2 31 3   . (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ 110. 4-22791