69 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
68
ισχύει για οποιοδήποτε ζευγάρι εξισώσεων της μορφής:
2
x x
0
(3)
και
2
x
x
0
με
0
.(4)
Αποδείξτε τον ισχυρισμό του μαθητή, δείχνοντας ότι:
Αν ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης (3) και
0
, τότε
i)
0
και
(Μονάδες 5)
ii) ο
1
επαληθεύει την εξίσωση (4).
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Η εξίσωση
(1)
είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
1
14
4 3 8 196 96 100 0
.
Επομένως, έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
1,2
14 10
x
.
6
Δηλαδή,
1
2
2
x 4
x
.
3
Η εξίσωση
(2)
είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
2
14
4 8 3 196 96 100 0
Επομένως, δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
2,3
14 10
x
16
.
Δηλαδή,
2
3
1
3
x
x
4
2
.
β)
i)
Αφού ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης
(3)
έχουμε
2
0
Οπότε, αν υποθέσουμε ότι
0
, τότε προκύπτει
2
0 0 0
0,
που είναι άτοπο, διότι
0.
Επομένως,
0.