63 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
62
Άρα, η εξίσωση
(1)
έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε
.
β) i)
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
2
2
2
36 0 2
36 0
που ισχύει, αφού ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης
(1)
και άρα την
επαληθεύει.
ii)
Υποθέτουμε (απαγωγή σε άτοπο) ότι
0.
Οπότε,
2
2 0
0 36 0 36 0
, αδύνατον.
Επομένως,
0
.
Αρκεί να αποδείξουμε ότι
2
2
1 1
1 1
36
2 0 36
2 0
2
0
2
2
36
2 0
2
36 0
.
που ισχύει, αφού ο αριθμός ρ είναι ρίζα της εξίσωσης
(1)
και άρα
την επαληθεύει.
α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση
4
2
x
8x
9 0
.
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει δυο μόνο πραγματικές ρίζες, τις
οποίες και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος, θεωρούμε
τη διτετράγωνη εξίσωση:
4
2
x
x
0
(1)
με παραμέτρους
,
.
Να δείξετε ότι αν
0
τότε:
i)
2
4
0
(Μονάδες 3)
ii) Η εξίσωση (1) έχει δυο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
(Μονάδες 12)
ΘΕΜΑ 4-4975