58 / 240
57
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
γ)
Θέτουμε
1
x
,x 0
x
. Οπότε, η δοθείσα εξίσωση γράφεται
2
2
5
2 0
2
ή
1
2
Έχουμε λοιπόν
2
2
2
1
x
2 x 1 2x x 2x 1 0 (x 1) 0 x 1
x
2
2
1 1
x
2x 2 x 2x x 2 0
x 2
, αδύνατη διότι
15 0
.
Τελικά, η δοθείσα εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την
x 1.
Δίνεται η εξίσωση
2
x
2
1 x
1 0
,
με παράμετρο
{0}
.
α) Να δείξετε ότι η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης είναι ανεξάρτητη του λ,
δηλαδή σταθερή.
(Μονάδες 8)
β) Να προσδιορίσετε τις ρίζες της εξίσωσης συναρτήσει του λ.
(Μονάδες 7)
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η απόσταση των ριζών της εξίσωσης
στον άξονα των πραγματικών αριθμών είναι ίση με 2 μονάδες.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Είναι
2
2
2
(2 1) 4 (
1) 4 4
1 4 4 1
για κάθε
0
.
Άρα, η διακρίνουσα Δ είναι σταθερή.
β)
Αποδείξαμε ότι
1 0
για κάθε
0 .
Επομένως, η δοθείσα
εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, τις
1,2
2 1 1
x
2
ΘΕΜΑ 4-4903