56 / 240
55
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση
4
2
x
7x
12 0
.
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερεις διαφορετικές
πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β) Γενικεύοντας το παράδειγμα του προηγούμενου ερωτήματος,
θεωρούμε τη διτετράγωνη εξίσωση
4
2
x x
0
(1)
με παραμέτρους
,
. Να δείξετε ότι αν
0,
0
και
2
4 0
, τότε η εξίσωση (1) έχει τέσσερις διαφορετικές
πραγματικές ρίζες .
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α)
Θέτουμε
2
x ,
0
, οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται
2
7
12 0
3
ή
4
Δηλαδή,
2
x 3
ή
2
x
4
x 3
ή
x 3
ή
x
2
ή
x 2
β)
Θέτουμε
2
x
, οπότε η δοθείσα εξίσωση γράφεται
2
0
(1)
και έχει διακρίνουσα
2
4
0
. Οπότε, η εξίσωση
(1)
έχει δυο ρίζες
1 2
,
οι οποίες είναι πραγματικές και άνισες.
Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε
1
2
1 2
0
0.
1
1
ΘΕΜΑ 4-4654