Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

51 / 240

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
50
α) Δίνεται η διτετράγωνη εξίσωση
   4 2
x 9x 20 0 .
Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή έχει τέσσερις διαφορετικές
πραγματικές ρίζες, τις οποίες και να προσδιορίσετε.
(Μονάδες 10)
β) Να κατασκευάσετε μια διτετράγωνη εξίσωση της μορφής
    4 2
x x 0 ,
η οποία να έχει δυο μόνο διαφορετικές πραγματικές ρίζες. Να
αποδείξετε τον ισχυρισμό σας λύνοντας την εξίσωση που
κατασκευάσατε.
(Μονάδες 15)
Απάντηση:
α) Θέτουμε  2 x w, οπότε η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται
   2 w 9w 20 0 .
Η τελευταία είναι εξίσωση 2ου βαθμού με διακρίνουσα
 
            
2 2 4 9 4 1 20 81 80 1 0 .
Επομένως, έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες τις
 
1,2
9 1 9 1
w
2 1 2
   
 

δηλαδή 1 2
9 1 9 1
w 5,w 4
2 2
 
    δεκτές.
Οπότε, η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται
   
       2 2 x 5 ή x 4 x 5 ή x 2
Δηλαδή, η δοθείσα εξίσωση έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες,
τις
ΘΕΜΑ 4-5317