53 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
52
α)
Να αποδείξετε ότι για κάθε
, η εξίσωση έχει δυο ρίζες
πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 7)
β)
Αν
1 2
x ,x
είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε:
i)
Να προσδιορίσετε τις τιμές του
, για τις οποίες ισχύει:
2
24
1 2
1 2
x
x
18 7(x x ) 0
(Μονάδες 9)
ii)
Για
1
, να βρείτε την τιμή της παράστασης
2
2
1
2
1
2
1 2
x x
3x 4 3x x x
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
α)
Η δοθείσα εξίσωση είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
25
4 0
για
κάθε
.
Άρα, η εξίσωση έχει για κάθε
δύο ρίζες πραγματικές
και άνισες.
β) i)
Από τους τύπους του Vieta έχουμε
1 2
x
x 5
και
1 2
x x 1
.
Eίναι λοιπόν
2
2
24
24
1 2
1 2
x x 18 7(x x )
0
5 18 7( 1) 0
2
2
2
25
18 7 0
25
25
1
1
.
ii)
Για
1
είναι
1
2
x
x
5
και
1 2
x x
1
.
Επομένως,
2
2
2
2
1 2
1
2
1 2
1
2 1 2
1
2
x x
3x
4 3x
x x
x x
x x 3x 3x 4
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
x x (x
x ) 3(x x ) 4 x x (x x ) 3(x
x ) 4