45 / 240
Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
44
Δίνεται η εξίσωση
2
2
x
4x 2
0
(1)
με παράμετρο
.
α) Να αποδείξετε ότι, για οποιαδήποτε τιμή του
, η (1) έχει δυο
άνισες ρίζες.
(Μονάδες 10)
β) Αν
1
x
και
2
x
είναι οι ρίζες της εξίσωσης (1):
i)
Να βρείτε το
1
2
S x
x
.
ii) Να βρείτε το
1
2
P x x
ως συνάρτηση του πραγματικού αριθμού
λ.
(Μονάδες 5)
γ) Αν μια ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός
2
3
τότε:
i)
Να αποδείξετε ότι η άλλη ρίζα της εξίσωσης (1) είναι ο αριθμός
2 3
.
ii) Να βρείτε το λ.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Η εξίσωση
2
2
x
4x 2
0
(1)
έχει διακρίνουσα
2
2
2
2
4
16 4(2 ) 16 8 4 8 4 0
για κάθε
.
Επομένως, για οποιαδήποτε τιμή του
έχει δυο ρίζες πραγματικές και
άνισες.
β)
i)
1 2
4
S x x
4
1
ii)
2
2
1 2
2
P x x
2
1
.
γ) i)
Η μια ρίζα της εξίσωσης
(1)
είναι ο αριθμός
1
x
2
3
. Οπότε, με
βάση το ερώτημα
β) i)
έχουμε
1
2
2
2
x x
4 2 3 x 4 x 2 3
ii)
Από τα προηγούμενα ερωτήματα έχουμε
ΘΕΜΑ 4-2332