36 / 240
35
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνονται η εξίσωση
2
x 2 x 4 1 0
, με παράμετρο
.
α) Να βρείτε την διακρίνουσα της εξίσωσης.
(Μονάδες 8)
β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για
κάθε
.
(Μονάδες 8)
γ) Αν
1 2
x ,x
είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να βρείτε για
ποια τιμή του λ ισχύει
2
1
2
1 2
x x
x x 5 0
.
(
Μονάδες 9)
Απάντηση:
α)
Η διακρίνουσα της δοθείσας εξίσωσης είναι
2
2
2
2
4 2 4 1 4 1 4 16 1 4 16 16
.
2
2
4
4 4 4 2
β)
Έχουμε
2
4 2 0
για κάθε
.
Άρα, η δοθείσα εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε
.
γ)
Με βάση τους τύπους του Vieta έχουμε
1 2
2
x x
2
1
και
1 2
4 1
x x
4 1
1
.
Επομένως,
2
2
1 2
1 2
x x x x 5 0
2
4
1 5 0
2
2
4
4 4 5 0 4
4 1 0
2
2 1 0
2
1 0
2
1
2
1
1
2 2
2
.
ΘΕΜΑ 2- 496