Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

226 / 240

225
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση
1
Α
S P


, όπου S, P το άθροισμα και το γινόμενο των
(Μονάδες 9)
Απάντηση:
α) Έχουμε
2 2 2 2
Δ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (2λ 1) 0           για κάθε λ . 
Άρα, η εξίσωση (1) έχει πραγματικές ρίζες για κάθε λ . 
β) Η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες ίσες αν και μόνο αν ισχύει
2 1
Δ 0 (1 2λ) 0 λ
2
      .
γ) Σύμφωνα με τους τύπους του Vieta έχουμε
β
S 1
α
   και 2 γ
Ρ λ λ
α
   .
Η παράσταση
1
Α
S P


έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν
2 S P 0 λ λ 1 0      , που ισχύει για κάθε λ  , αφού το τριώνυμο
2 λ λ 1  έχει διακρίνουσα Δ 1 4 3 0      .
Δίνεται η εξίσωση
    2
x 2 λ 4x 3   με παράμετρο λ  .
α) Να γράψετε την εξίσωση στην μορφή 2 αx βx γ 0,α 0     .
( Μονάδες 5)
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές και άνισες.
(Μονάδες 10)
γ) Αν 1 2 x ,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης, στην περίπτωση που έχει ρίζες
πραγματικές και άνισες.
ΘΕΜΑ 4-4663