Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου

222

Άρα, η εξίσωση

(2)

έχει τέσσερις πραγματικές και άνισες ρίζες, τους

αριθμούς

1, 2 και



γ)

Για το τριώνυμο

βx γ

 

έχουμε

α 1 0

 

. Οπότε, το τριώνυμο θα έχει

αρνητική τιμή (δηλαδή ετερόσημη του α) μόνο στο διάστημα ανάμεσα στις

ρίζες του, αν αυτό έχει πραγματικές και άνισες ρίζες. Αφού όμως θέλουμε

το τριώνυμο να έχει ρίζες κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης

(2)

και

επιπλέον θέλουμε για κάθε αρνητικό αριθμό να έχει θετική τιμή, δεν

μπορούμε να έχουμε ως ρίζες τους αριθμούς



και –1, γιατί τότε για

αυτούς τους αρνητικούς αριθμούς το τριώνυμο θα έχει τιμή μηδέν και όχι

ένα θετικό αριθμό. Συνεπώς, το τριώνυμο μπορεί να έχει ως ρίζες τους

αριθμούς 1 και

Διακρίνουμε περιπτώσεις:



Αν το τριώνυμο έχει δύο άνισες ρίζες, τότε αυτές θα είναι οι



και

x 2



για τις οποίες έχουμε

x βx γ 0



 

για κάθε









   

Για τις συγκεκριμένες ρίζες έχουμε





1 2

β 1

   

     

και

1 2

γ 2

  

  

Συνεπώς το ζητούμενο τριώνυμο θα είναι το





x 1

2 x 2

 





Αν το τριώνυμο έχει διπλή ρίζα το

x 1



τότε

βx γ 0



 

για κάθε









   

και είναι