Αλγεβρα A' Λυκείου (Τράπεζα Θεμάτων)

225 / 240

Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ – Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου
224
Απάντηση:
α) Έχουμε
2 2 2 2 Δ ( 1) 4(λ λ ) 1 4λ 4λ (1 2λ) 0           για κάθε λ . 
Άρα η εξίσωση (1) έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ  .
β) Η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες ίσες, αν και μόνο αν ισχύει
2 1
Δ 0 (1 2λ) 0 λ
2
     
γ) Έχουμε 1,2
1 (2λ 1)
x
2
  
 . Δηλαδή 1 x λ  και 2 x 1 λ   . Οπότε,
   
1 2 d x ,x λ 1 λ 2λ 1     .
Άρα η εξίσωση  
  1 2
1 2
1
d x ,x
d x ,x
 ισοδύναμα γράφεται
  2 2 2 1 1
2λ 1 2λ 1 1 και λ 2λ 1 1 4λ 4λ 1 1
2λ 1 2
            

  2 4λ 4λ 0 4λ λ 1 0 λ 0 ή λ 1          .
Δίνεται η εξίσωση
2 2 x x (λ λ ) 0    (1)
με παράμετρο λ  .
α) Να βρείτε τη διακρίνουσα Δ της εξίσωσης και να αποδείξετε ότι η
εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ  .
( Μονάδες 10)
β) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση (1) έχει δυο ρίζες ίσες;
(Μονάδες 6)
ΘΕΜΑ 4-4548