222 / 240
221
Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρας Α’ Γενικού Λυκείου – Εκδόσεις ΜΠΑΧΑΡΑΚΗ
Δίνονται οι εξισώσεις
2
x 3x 2 0
(1)
και
4
2
x
3x 2 0
(2)
α)
Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (1).
(Μονάδες 5)
β)
Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2).
(Μονάδες 10)
γ)
Να βρείτε τριώνυμο της μορφής
2
x
βx γ
που οι ρίζες του να είναι
κάποιες από τις ρίζες της εξίσωσης (2) και επιπλέον, για κάθε αρνητικό
αριθμό x, να έχει θετική τιμή.
(Μονάδες 10)
Απάντηση:
α)
Η εξίσωση
(1)
είναι 2ου βαθμού με διακρίνουσα
2
2
Δ β
4αγ 3 4 1 2 9 8 1 0
.
Συνεπώς, η εξίσωση
(1)
έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες, τις
1,2
3 1
β
Δ
3 1
x
.
2α
2 1
2
Δηλαδή,
1
2
x 1 και
x
2.
β)
Η εξίσωση
(2)
είναι διτετράγωνη, οπότε για την επίλυσή της θέτουμε
2
x w
και έχουμε την βοηθητική εξίσωση
2
w 3w 2 0
, η οποία είναι η
εξίσωση
(1)
με άγνωστο τον w, αντί το x. Συνεπώς, από το ερώτημα
α)
έχει
δυο πραγματικές και άνισες ρίζες, τις
1
w 1
και
2
w
2
.
Για
1
w 1
είναι
2
x 1
x
1 x
1
.
Για
2
w 2
είναι
2
x 2 x
2
.
ΘΕΜΑ 4-5285